极简之数学漫谈
文|笑听风雨
下面这一大段是原来的聊天记录，缘起于关键字：浮现。供参吧。
华罗庚说：年轻人学数学，要避免一个不好的习气：眼高手低！
一些知识点好理解，也就是说好讲，但可能难点在练！就是所谓的一讲就懂，一做就错！究其原因，可能是操作密集型。比如三角函数的诱导公式，最复杂的一种应用样式，一个步骤就是四条线索并进！每条线索都简单，但是快速四核操作就难了起来。
举个粟子：
3sin(2-5x)＝Acos(ωx+φ)
A>0
ω>0
｜φ｜＜π
求A,ω,φ
操作密集型的知识难点在练，光讲不练可不行，老师自己先要练到位，多线并进时，往往有条主线，副线往往好讲，但要把副线练到秒出还不错，也不容易。
把副线练到轻松秒出(不止于可做出！副线例如：正转反转，象限角的三角函数定号，诱导公式准备式奇偶型的快速准确判定。重复的多练才行。)，往往是操作密集型(三角函数最典型)难点的突破法。
高中数学操作密集型的知识点有：(临屏供参)同角转换(任意角，可带参)，扇形卷锥(包括半圆卷锥)，诱导公式，升降幂，辅角，分角问题，三角定域求值，简单的三角方程(特解到通解)，三角变换，正余弦定理的正式变式，解析几何已知两点坐标可求项目(距离，斜率，向量，中点，直线，径圆)，平面向量点乘的几何定义和坐标算法，空间向量法，独立性检验，回归，非复杂事件法的统概，求导，求定义域值域常规，数列基本公式，递推求通项简单的八型，和项求通项，各式裂项求和，错位求和，特殊条件选二问题表格法，超几何分布，二项分布，正态分布中简单的对称问题，各种特征量(均值，方差，极差，众数(包括无众数)，中位数(先排大小)，标准差，绝对差)，排列数组合数指数，直线方程五式及变式及把前四式补为一般式用，直线的位置关系和计算，圆方程四式，圆的位置关系和计算，圆锥曲线的定义和五大问题和一些黑科技结论，导数与切线三型，导数与函数的基本六步套路，四种参数方程(标与非标，参数参量意义)，极坐标四式，基本不等式，均值不等式，柯西与排序，等等。
操作密集型，往往多是基础点，是难点的话，往往是因为多线程(副线秒)或结论形式过于复杂(用口诀)。
操作密集的，要以练为主，差生最是要这样，优生在很多模块也没练够，甚至老师也如此。这不是思路能浮现就搞定的，往往难点丢分点也不一定就是浮现思路。
对于思维密集型知识点，就要以讲为主了，讲识别，讲触发，讲注意，讲大局观，讲分析综合，讲自由度，讲命题视角，讲树状图，讲描述与符号化操作严格一一对应，讲条理性(不放过不起眼的无条理)，讲跳出意识和判定，讲状态、过程、关系，讲算术、方程、函数、微积分，讲起终、变常、已未。。。
问天:
太长，分段发。
高中数学具体的思维密集型有：(临屏供参)集合与元素对跨层级关系的描述和表达规范，联系(无向)、对应(单向)、映射(对一：一对一，多对一)与一一映射(一对一)、函数(数集之间的映射)，y＝f(x)表达法的来龙去脉和逻辑误区，问题层级的识别与灵活转化(算术，方程，函数，微积分)，定义域优先×3，两种换元法初步，参数法初步，函数性质和变换，深刻的图象法，对称性的由半知全意识，同角转化意识，周期变换的多圈归一圈意识，诱导变换的四象归一象意识，统名统次统元意识，相位意识(简单的复合函数操作)，角元整体意识，三件四件两件下的解三角形思路，三角的一些黑科技结论，锐角x的sinx＜x＜tanx，正弦余弦共图的讨论二归一，复数的辐角意识(棣模佛定理的简单技巧性实用)，数列的奇偶分型(压轴)，数列的特征根法，数列的初状态检验习惯(非完全归纳)，等比验非零习惯，元必有来处的表达习惯，平方底参转义加绝对值，和项求通项时用S0先验合计还是分计，数列公式的计算式(有…)、关系式(无…)、函数式，数学归纳法(超纲的骚操作)，数列中的修正意识，数列的离散性(比之连续函数难在离散，虽然是最简单的离散)，
问天:
继续分段。
三视图：两框为柱、两三角为锥，两圆为球、看底座、看高点、看斜高(尽量不画立体图，以免超时)，球小题：直锥(侧棱垂直而非侧面垂直)或直柱h＝2d，正锥h＝R±d,最体积锥h＝R+d,正三角r＝a/根3，正方形r＝a/根2，正六边形r＝a,直角三角形r＝c/2,三角形r＝a/(2sinA),R²＝r²+d²(尽量不画立体图以免超时)，画剖面图不画立体图意识，复杂底面正投影意识，立体几何三射线观(堪比平面三角观)，网孔和结点意识(图论初步)，选二图表法的对角线问题，对分堆选取的甄别，超几何分布(查次品，两项目中抽查，不知概，有限中选，不重)和二项分布(知概，无限中选，独立重复)的甄别，条件概率与独立性，互斥事件和概率与独立事件积概率，样本空间与基本事件空间的区别，随机变量与普通变量的区别，加权意识，均值和方差的传递，误差传递与3δ，非全项均值要除以权重和，中位数的复杂按比例分配，分类意识与汇总意识，验重验漏，求和符号细则，独立性检验口径转换，点值为枢(解析几何核心思路，破题法)，动中有定与自由度分析，斜率积定义，伸缩变换，极点极线的骚操作(常见的难点是焦弦与准点造对称，有两角的正切与正弦通过离心率相关)，双斜k主，双距用极坐标ρ主，曲线系大法，冰淇淋原理，高次韦达，导数形式整合(单函，常分，双函，换主，构复合)，零点分段讨论法，观察特殊位(必要性探路)，注意保D保奇，注意断点和收敛，超越平凡化，两参做对称或构复合(常用商构复合)，利用收敛性做缩放，比大小(同型两两比，异型先插整值，再插1/2等，4^(-1/2)＝1/2)，图象选择三点定(要会算左值右值无穷值，遇不定式无需洛必达法则，高中总能绕开)，函数变换与切取二式搞定常见12题，
问天:
标参直线t问题，直线曲线d问题，圆与曲线d问题，坐标变换，同心距化极坐标，五步双轴法解一次双绝对值不等式，恒可不转最，均值不等式的一正二定三等四同时，花式柯西与排序，等等。
初中的：一般化意识(代数的灵魂)，代数式与关系式的识别，读项意识，定号定系定元定次的节奏感，降幂意识，去分母去括号移项合并的基本化简意识，严格的等量代换(三步成习惯：不多不少的拿，不多不少的放，走心的检验相等)，检验意识(验增根，定义域验根，习惯于凡字母除数必验零)，多解意识，分段意识，双向意识(负号表相反)，等等。
思维密集型，要以讲为主，要强调浮现，要多描述，光是写给学生看不太好！
不少老师，遇到操作密集型只讲了懂，遇到思维密集型只写了看，图省事嘛，学生往往莫名，我就这样好多年，一直到现在也会！
惭愧啊！
话痨又犯，亲们供参。
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